正定矩阵必是实对称矩阵，这是线性代数中一个基本而重要的结论。正定矩阵的定义要求对于任意非零实向量x，二次型x^T A x > 0，这一条件强制了矩阵A必须是对称的，因为任何非对称部分在二次型中贡献为零，且若A有反对称分量，则其二次型可能为负，故正定性迫使反对称部分为零，从而A = A^T，即实对称矩阵。 此外，从特征值角度，实对称矩阵的特征值都是实数，而正定矩阵的所有特征值大于零，因此正定矩阵必然是对称的。这一性质确保了正定矩阵在优化、数值分析和物理学中的广泛应用。
【常见问题】
问题1：正定矩阵为什么一定是实对称矩阵？
回答1：正定矩阵的定义要求对所有非零实向量x，有x^T A x > 0。由于x^T A x = x^T ((A+A^T)/2) x，且反对称部分x^T ((A-A^T)/2) x = 0，因此正定性完全由对称部分决定。若A不对称，则其对称部分必须正定，但反对称部分非零时，存在向量使二次型改变符号，矛盾，故A必须等于其转置，即实对称矩阵。
问题2：如何判断一个矩阵是否是正定实对称矩阵？
回答2：判断一个矩阵是否为实对称矩阵，首先检查是否满足A = A^T。然后通过计算所有顺序主子式是否大于零（西尔维斯特准则），或计算所有特征值是否大于零。若满足，则该实对称矩阵是正定的。
问题3：非对称矩阵可以正定吗？
回答3：通常正定矩阵的定义要求矩阵是对称的。如果矩阵非对称，但二次型x^T A x对于所有非零x大于0，则A的对称部分必为正定，而反对称部分为零，从而A实际上是对称的。因此，严格来说，正定矩阵必为实对称矩阵，不存在非对称的正定矩阵。