【2次函数的所有公式】在数学中，二次函数（也称为“2次函数”）是一种常见的多项式函数，其形式为 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。二次函数在代数、几何以及物理等领域都有广泛的应用。为了更好地理解和使用二次函数，掌握其相关公式至关重要。
以下是对二次函数所有常用公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和理解。
一、基本定义
| 公式 | 含义 |
| $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | 一般形式，其中 $ a \neq 0 $ |
| $ a $, $ b $, $ c $ | 系数，$ a $ 不为零 |
二、顶点公式
| 公式 | 含义 |
| $ x = -\frac{b}{2a} $ | 顶点的横坐标 |
| $ y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) $ | 顶点的纵坐标 |
| $ (h, k) = \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) $ | 顶点坐标 |
三、判别式与根的关系
| 公式 | 含义 |
| $ D = b^2 - 4ac $ | 判别式 |
| 当 $ D > 0 $：有两个不同的实数根 | 根的性质 |
| 当 $ D = 0 $：有一个实数根（重根） | |
| 当 $ D < 0 $：无实数根，有两个共轭复数根 |
四、求根公式（求根公式）
| 公式 | 含义 |
| $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 二次方程的解 |
五、因式分解法（适用于可分解的二次函数）
| 公式 | 含义 |
| $ f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) $ | 因式分解形式，其中 $ r_1 $ 和 $ r_2 $ 是根 |
| $ r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} $ | 根与系数关系 |
| $ r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} $ | 根与系数关系 |
六、图像特征
| 特征 | 描述 |
| 开口方向 | 当 $ a > 0 $，开口向上；当 $ a < 0 $，开口向下 |
| 对称轴 | $ x = -\frac{b}{2a} $ |
| 顶点 | 最高点或最低点，根据 $ a $ 的正负决定 |
| 与 y 轴交点 | 当 $ x = 0 $ 时，$ f(0) = c $ |
七、其他常见公式
| 公式 | 含义 |
| $ f(x) = a(x - h)^2 + k $ | 顶点式，$ (h, k) $ 为顶点 |
| $ a = \frac{f(x) - k}{(x - h)^2} $ | 由顶点式反推系数 $ a $ |
| $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | 一般式转顶点式的方法（配方法） |
总结
二次函数是中学数学的重要内容，涉及多个方面的计算与应用。掌握其基本公式不仅有助于解题，还能加深对函数图像和性质的理解。通过上述表格，可以快速回顾和应用这些关键公式。
如需进一步了解二次函数在实际问题中的应用（如抛物线运动、最大值最小值等），可结合具体例子进行分析。